نرخ بهینه نمونه برداری در پردازش سیگنال یکی از مباحث مهمه که قرار است در این مقاله آن را به صورت کامل مورد نقد و بررسی قرار دهیم.
نرخ بهینه نمونه برداری در پردازش سیگنال
برای انتقال و پردازش سیگنال‌های پیوسته به کمک کامپیوترهای دیجیتال، نیاز است گسسته سازی این سیگنال‌های پیوسته انجام شود. فرآیند گسسته سازی، با نمونه برداری از سیگنال پیوسته در بازه های زمانی معینی صورت می‌گیرد. بنابراین این فرآیند به نوعی فشرده سازی اطلاعات است و حجم ذخیره سازی را کاهش می‌دهد. اما نکته مهم در این فرآیند انتخاب نرخ بهینه نمونه برداری است. بررسی این موضوع، توسط دو دانشمند بزرگ، شانون (Claude Shannon) و نایکوئیست (Nyquist) در دو پژوهش، در زمینه پردازش سیگنال و ارتباطات، به منظور ارائه روشی جهت فشرده سازی و انتقال سیگنال‌ها صورت گرفته است. در این پژوهش نیز، نتیجه زحمات این دانشمند بیان و با ذکر یک مثال، تایید شده است.
نرخ بهینه نمونه برداری
نرخ بهینه نمونه برداری موضوع مقاله ما است. برای تبدیل سیگنال پیوسته به گسسته، نیاز است در بازه‌های زمانی معینی که زمان نمونه برداری (T_s) نامیده می‌شود، مقادیر سیگنال ثبت و ذخیره شود. مثلا در شکل ۱، گسسته سازی سیگنال پیوسته انجام شده است.
انتخاب زمان نمونه برداری تاثیر بسیار مهمی در کیفیت اطلاعات گسسته شده دارد. در واقع در صورتی که این زمان خیلی بزرگ انتخاب شود، ممکن است اطلاعات در حین گسسته سازی از بین برود و به اصطلاح، پدیده الی‌ایسینگ (Aliasing) رخ دهد. این حالت در شکل ۲ نشان داده شده است.
بنابراین زمان نمونه بردای باید به میزان کافی کوچک باشد تا اطلاعات از دست نرود. اما اگر این زمان خیلی کوچک انتخاب شود، حجم وسیعی از داده باید توسط کامپیوتر پردازش شود و این امر، افزایش حجم و زمان محاسبات را به دنبال دارد. بنابراین زمان نمونه برداری نه باید خیلی بزرگ باشد و نه خیلی کوچک؛ بلکه یک مقدار بهینه برای آن انتخاب شود.
بنابر تحقیقات آقایان شانون و نایکوئیست، نرخ نمونه برداری (omega_s) که مطابق رابطه (۱) تعریف می‌شود، حداقل باید دو برابر بزرگ‌ترین فرکانس یک سیگنال (omega_s) باشد.
مثال متداول این موضوع، نرخ ضبط فایل‌های MP3 است که برابر (kHz)44 است که از آن‌جا نشأت می‌گیرد که قابلیت شنوایی انسان حدودا تا فرکانس (kHz)22 است.
بررسی یک مثال
سیگنال یک سیگنال پیوسته با معادله (۳) است که بزرگ‌ترین فرکانس آن (kHz)20 است. این سیگنال در شکل ۳ نشان داده شده است.
طبق رابطه (۲)، نرخ نمونه برداری به منظور گسسته سازی سیگنال باید برابر (kHz)40 باشد. با در نظر گرفتن نرخ نمونه برداری برابر (kHz)40، سیگنال گسسته شده مطابق شکل ۴ است. می‌توان دریافت که با انتخاب این نرخ نمونه برداری، تمامی اطلاعات مهم سیگنال اصلی ذخیره شده و اطلاعات مهم از بین نرفته است.
با افزایش نرخ نمونه برداری به (kHz)120، گسسته سازی مطابق شکل ۵ صورت خواهد گرفت.
از سوی دیگر اگر نرخ نمونه برداری کمتر از (kHz)20 انتخاب شود، گسسته سازی سیگنال پیوسته نتیجه مطلوبی نخواهد داشت (شکل ۶).
نتیجه‌گیری
انتخاب زمان نمونه برداری تاثیر بسیار مهمی در کیفیت اطلاعات گسسته شده دارد. اندازه بهینه این پارامتر بر اساس رابطه پیشنهادی نایکوئیست، برابر دو برابر بیشترین فرکانس طبیعی سیگنال پیوسته است. در این صورت اطلاعات مهم سیگنال از بین نخواهد رفت. در این مقاله سعی کردیم تا پردازش سیگنال و نرخ بهینه نمونه برداری به صورت کامل به شما توضیح دهیم. تیم مکادمی همیشه کنار شماست تا مشکلات شما را به صورت کامل حل کند.
منابع و ماخذ
[۱] C. E. Shannon, “Communication theory of secrecy systems,” in The Bell System Technical Journal, vol. 28, no. 4, pp. 656-715, Oct. 1949, doi: 10.1002/j.1538-7305.1949.tb00928.x.
[۲] H. Nyquist, “Certain Topics in Telegraph Transmission Theory,” in Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, vol. 47, no. 2, pp. 617-644, April 1928, doi: 10.1109/T-AIEE.1928.5055024.
[۳] https://www.youtube.com/watch?v=FcXZ28BX-xE
نویسنده:
دانشجوی مهندسی مکانیک دانشگاه صنعتی خواجه نصیرالدین طوسی
(برای مطالعه بیشتر روی نام یا تصویر ایشان کلیک کنید)
