()

نرخ بهینه نمونه برداری در پردازش سیگنال

برای انتقال و پردازش سیگنال‌های پیوسته به کمک کامپیوترهای دیجیتال، نیاز است گسسته سازی این سیگنال‌های پیوسته انجام شود. فرآیند گسسته سازی، با نمونه برداری از سیگنال پیوسته در بازه های زمانی معینی صورت می‌گیرد. بنابراین این فرآیند به نوعی فشرده سازی اطلاعات است و حجم ذخیره سازی را کاهش می‌دهد. اما نکته مهم در این فرآیند انتخاب نرخ بهینه نمونه برداری است. بررسی این موضوع، توسط دو دانشمند بزرگ، شانون (Claude Shannon) و نایکوئیست (Nyquist) در دو پژوهش، در زمینه پردازش سیگنال و ارتباطات، به منظور ارائه روشی جهت فشرده سازی و انتقال سیگنال‌ها صورت گرفته است. در این پژوهش نیز، نتیجه زحمات این دانشمند بیان و با ذکر یک مثال، تایید شده است.

نرخ بهینه نمونه برداری

برای تبدیل سیگنال پیوسته به گسسته، نیاز است در بازه‌های زمانی معینی که زمان نمونه برداری (T_s) نامیده می‌شود، مقادیر سیگنال ثبت و ذخیره شود. مثلا در شکل 1، گسسته سازی سیگنال پیوسته انجام شده است.

شکل 1: گسسته سازی یک سیگنال پیوسته
شکل 1: گسسته سازی یک سیگنال پیوسته

انتخاب زمان نمونه برداری تاثیر بسیار مهمی در کیفیت اطلاعات گسسته شده دارد. در واقع در صورتی که این زمان خیلی بزرگ انتخاب شود، ممکن است اطلاعات در حین گسسته سازی از بین برود و به اصطلاح، پدیده الی‌ایسینگ (Aliasing) رخ دهد. این حالت در شکل 2 نشان داده شده است.

شکل 2: از دست رفتن اطلاعات در حین فرآیند گسسته سازی سیگنال پیوسته
شکل 2: از دست رفتن اطلاعات در حین فرآیند گسسته سازی سیگنال پیوسته

بنابراین زمان نمونه بردای باید به میزان کافی کوچک باشد تا اطلاعات از دست نرود. اما اگر این زمان خیلی کوچک انتخاب شود، حجم وسیعی از داده باید توسط کامپیوتر پردازش شود و این امر، افزایش حجم و زمان محاسبات را به دنبال دارد. بنابراین زمان نمونه برداری نه باید خیلی بزرگ باشد و نه خیلی کوچک؛ بلکه یک مقدار بهینه برای آن انتخاب شود.

بنابر تحقیقات آقایان شانون و نایکوئیست، نرخ نمونه برداری (omega_s) که مطابق رابطه (1) تعریف می‌شود، حداقل باید دو برابر بزرگ‌ترین فرکانس یک سیگنال (omega_s) باشد.

Picture7 1
نرخ بهینه نمونه برداری در پردازش سیگنال

مثال متداول این موضوع، نرخ ضبط فایل‌های MP3 است که برابر (kHz)44 است که از آن‌جا نشأت می‌گیرد که قابلیت شنوایی انسان حدودا تا فرکانس (kHz)22 است.

بررسی یک مثال

سیگنال  یک سیگنال پیوسته با معادله (3) است که بزرگ‌ترین فرکانس آن (kHz)20 است. این سیگنال در شکل 3 نشان داده شده است.

Picture8
نرخ بهینه نمونه برداری در پردازش سیگنال
شکل 3: سیگنال رابطه (3)
شکل 3: سیگنال رابطه (3)

طبق رابطه (2)، نرخ نمونه برداری به منظور گسسته سازی سیگنال باید برابر (kHz)40 باشد. با در نظر گرفتن نرخ نمونه برداری برابر (kHz)40، سیگنال گسسته شده مطابق شکل 4 است. می‌توان دریافت که با انتخاب این نرخ نمونه برداری، تمامی اطلاعات مهم سیگنال اصلی ذخیره شده و اطلاعات مهم از بین نرفته است.

شکل 4: سیگنال رابطه (3) و گسسته سازی آن با نرخ پیشنهادی نایکوئیست
شکل 4: سیگنال رابطه (3) و گسسته سازی آن با نرخ پیشنهادی نایکوئیست

با افزایش نرخ نمونه برداری به (kHz)120، گسسته سازی مطابق شکل 5 صورت خواهد گرفت.

شکل 5: سیگنال رابطه (3) و گسسته سازی آن با نرخ بیشتر از نرخ پیشنهادی نایکوئیست
شکل 5: سیگنال رابطه (3) و گسسته سازی آن با نرخ بیشتر از نرخ پیشنهادی نایکوئیست

از سوی دیگر اگر نرخ نمونه برداری کمتر از (kHz)20 انتخاب شود، گسسته سازی سیگنال پیوسته نتیجه مطلوبی نخواهد داشت (شکل 6).

شکل 6: سیگنال رابطه (3) و گسسته سازی آن با نرخ کمتر از نرخ پیشنهادی نایکوئیست
شکل 6: سیگنال رابطه (3) و گسسته سازی آن با نرخ کمتر از نرخ پیشنهادی نایکوئیست

نتیجه‌گیری

انتخاب زمان نمونه برداری تاثیر بسیار مهمی در کیفیت اطلاعات گسسته شده دارد. اندازه بهینه این پارامتر بر اساس رابطه پیشنهادی نایکوئیست، برابر دو برابر بیشترین فرکانس طبیعی سیگنال پیوسته است. در این صورت اطلاعات مهم سیگنال از بین نخواهد رفت.

منابع و ماخذ

[1] C. E. Shannon, “Communication theory of secrecy systems,” in The Bell System Technical Journal, vol. 28, no. 4, pp. 656-715, Oct. 1949, doi: 10.1002/j.1538-7305.1949.tb00928.x.

[2] H. Nyquist, “Certain Topics in Telegraph Transmission Theory,” in Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, vol. 47, no. 2, pp. 617-644, April 1928, doi: 10.1109/T-AIEE.1928.5055024.

[3] https://www.youtube.com/watch?v=FcXZ28BX-xE

مهندس سینا سیدی
تصویر مهندس سینا سیدی

نویسنده:

مهندس سید سینا سیدی حسن آبادی

دانشجوی مهندسی مکانیک دانشگاه صنعتی خواجه نصیرالدین طوسی

(برای مطالعه بیشتر روی نام یا تصویر ایشان کلیک کنید)

امتیاز دهید

میانگین امتیازها / 5. رای شما ثبت شده است.

اولین نفری باشید که امتیاز می‌دهید