اثر ساعت‌شنی (Hourglass) در روش المان محدود (FEM) چیست؟
اثر ساعت‌شنی (hourglass) در روش المان محدود (FEM) به تغییر شکل‌های زیگزاگی و غیر فیزیکی المان‌ها گفته می‌شود که ممکن است در تحلیل روش المان محدود (Finite Element Analysis) با المان‌های مرتبه اول (first-order) و انتگرال‌گیری کاهش یافته (reduced-integration)، رخ دهد. اثر ساعت‌شنی (hourglassing) باعث می‌شود که تغییر شکل المان‌ها چیزی شبیه به شکل ساعت‌شنی یا زیگزاگی شود که با فیزیک مسئله همحوانی ندارد و نتایج تحلیل اشتباه و گمراه کننده خواهد بود.
اغلب تحلیل‌های المان محدود بار محاسباتی زیادی دارند، از این رو به صورت پیش‌فرض که از المان‌های مرتبه اول (درون‌یابی خطی (linear interpolation)) و انتگرال‌گیری عددی کاهش یافته (reduced integration) استفاده می‌شود. در این حالت تنها یک نقطه انتگرال‌گیری درون المان وجود دارد. اگر تغییر شکل المان‌ها به نحوی باشد که محل نقطه انتگرال‌گیری (تقریباً) ثابت بماند، انرژی کرنشی المان‌ها به اشتباه صفر یا ناچیز محاسبه می‌شود. به این حالت از تغییر شکل مود ساعت‌شنی (hourglass mode) گفته می‌شود.
اثر ساعت‌شنی (hourglass) در فرایند انتگرال‌گیری عددی کاهش یافته (reduced-integration) المان مرتبه اول (first-order) موجب خطای محاسباتی می‌شود به نحوی که انرژی کرنشی (strain energy) سازه به اشتباه صفر محاسبه می‌شود و در نتیجه ماتریس سفتی (stiffness) المان‌ها کمتر از مقدار واقعی تخمین زده می‌شود (underestimate). در انتگرال‌گیری کاهش‌یافته المان مرتبه اول فقط یک نقطه انتگرال‌گیری وجود دارد بنابراین در برخی از حالت‌های تغییر شکل انرژی کرنشی (strain energy) اشتباهاً صفر یا ناچیز محاسبه می‌شود. به این حالت‌های خاص تغییر شکل المان، مودهای ساعت‌شنی (hourglass modes) گفته می‌شود.
The “hourglass effect” in finite element analysis refers to a type of undesirable deformation pattern that can occur in certain types of elements, such as four-node quadrilateral elements or eight-node hexahedral elements. This effect can occur when using reduced integration, which is a technique used to speed up the computational process by using fewer integration points than would normally be required. Reduced integration can lead to the hourglass effect because it can result in a lack of stiffness in certain modes of deformation, which can cause the element to deform in a way that resembles an hourglass shape. This can lead to inaccurate results and instability in the simulation.
انتگرال‌گیری عددی (Numerical Integration) در روش المان محدود (FEM)
در روش المان محدود (FEM) انتگرال‌گیری‌ها (integrations) با روش‌های عددی (numerical methods) به خصوص روش گوس (gauss quadrature) محاسبه می‌شوند. تعداد نقاط انتگرال‌گیری با توجه به مرتبه المان (element order) و کامل (full) یا کاهش‌یافته (reduced) بودن انتگرال‌گیری مشخص می‌شود. برای مثال در نرم افزار آباکوس (Abaqus) تعداد نقاط انتگرال‌گیری برای المان چهارضلعی (quadrilateral) مطابق تصویر زیر است.
بنابراین در نرم افزار آباکوس (Abaqus) اگر المان مرتبه اول (first-order/linear) باشد، در حالت انتگرال‌گیری کامل (full integration) در هر راستا دو نقطه و در حالت انتگرال‌گیری کاهش یافته (reduced integration) یک نقطه در هر راستا در نظر گرفته می‌شود در حالی‌که اگر المان مرتبه دوم (secend-order/quadratic) باشد، در حالت انتگرال‌گیری کامل (full integration) در هر راستا سه نقطه و در حالت انتگرال‌گیری کاهش یافته (reduced integration) دو نقطه در هر راستا در لحاظ می‌شود.
استفاده از المان مرتبه اول (first-order/linear) در تحلیل‌های المان محدود (FEA) موجب افزایش چشمگیر سرعت محاسبات یا همان CPU time می‌شود. استفاده از انتگرال‌گیری کاهش یافته (reduced integration) در محاسبات نیز باعث کاهش حجم محاسبات می‌شود. بنابراین معمولا اولویت استفاده از المان مرتبه اول و انتگرال‌گیری کاهش یافته است اما باید نکات لازم را در نظر گرفت تا دقت محاسبات تحت تاثیر قرار نگیرد.
پیامدهای پدیده ساعت‌شنی (Hourglassing) در روش المان محدود (FEM)
انرژی کرنشی صفر (Zero Strain Energy)
اثر ساعت‌شنی (hourglass) در فرایند انتگرال‌گیری عددی کاهش یافته (reduced-integration) المان مرتبه اول (first-order) موجب خطای محاسباتی می‌شود به نحوی که انرژی کرنشی (strain energy) سازه به اشتباه صفر محاسبه می‌شود و در نتیجه ماتریس سفتی (stiffness) المان‌ها کمتر از مقدار واقعی تخمین زده می‌شود (underestimate). در انتگرال‌گیری کاهش‌یافته المان مرتبه اول فقط یک نقطه انتگرال‌گیری وجود دارد بنابراین در مودهای ساعت‌شنی (hourglass modes) انرژی کرنشی (strain energy) اشتباهاً صفر یا ناچیز محاسبه می‌شود.
ناپایداری شبیه‌سازی (Unstable Simulations)
وقوع پدیده ساعت‌شنی (Hourglassing) در روش المان محدود (FEM) موجب نوسانات غیر واقعی (artificial oscillations) در پاسخ مسئله و در نهایت شبیه‌سازی واگرا خواهد شد.
تعییر شکل نامنظم (Erratic)
پدیده ساعت‌شنی (Hourglassing) در روش المان محدود (FEM) موجب ایجاد نویز (noise) و تغییرشکل‌های بی‌معنی می‌شود.
روش‌های جلوگیری از اثر ساعت‌شنی (Hourglassing)
برای جلوگیری از پدیده ساعت‌شنی (hourglassing) در تحلیل المان محدود (FEA) یکی از روش‌های زیر را اجرا کنید.
استفاده از مش‌بندی ریز (Fine Mesh)
استفاده از المان‌های مرتبه اول (first-order) با چگالی مش زیاد (المان‌های بسیار کوچک) و انتگرال‌گیری کاهش‌یافته (reduced-integration)
استفاده از انتگرال‌گیری کامل (Full Integration)
استفاده از المان‌های مرتبه اول (first-order) و انتگرال‌گیری کامل (full integration) به جای انتگرال‌گیری کاهش‌یافته (reduced-integration)
دقت کنید در صورتی که از المان مرتبه اول (first-order) و انتگرال‌گیری کامل (full integration) استفاده کنید، اگر بارگذاری خمشی (bending) در سازه حاکم باشد، ممکن است درگیر پدیده دیگری به نام قفل‌شوندگی برشی (shear locking) شوید که به اشتباه سفتی (stiffness) المان را بیش از حد واقعی تخمین (overestimate) می‌زند.
استفاده از Hourglass Control در نرم افزار آباکوس (Abaqus)
با استفاده از hourglass control در نرم افزار آباکوس (Abaqus) می‌توان از وقوع پدیده ساعت‌شنی (Hourglassing) در روش المان محدود (FEM) اجتناب کرد.
استفاده از المان‌های مرتبه دوم (second-order / quadratic)
اشتفاده از المان‌های مرتبه دوم (secend-order) و بالاتر از وقوع پدیده ساعت‌شنی (Hourglassing) در روش المان محدود (FEM) جلوگیری می‌کند.
نویسنده:
مهندس میلاد وحیدیان
دانشجوی دکترای مهندسی مکانیک دانشگاه تهران
(برای مطالعه بیشتر روی نام یا تصویر ایشان کلیک کنید)