فرست مطالب

روش المان محدود غیرخطی (Nonlinear FEM)

روش اجزاء محدود یا المان محدود (Finite Element Method=FEM) روشی عددی (numerical method) برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی (Ordinary Differential Equation=ODE) از نوع مسئله شرایط مرزی (Boundary Value Problem=BVP) و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (Partial Differential Equation=PDE) است. معادلات حاکم (governing equations) بر اغلب مسائل مهندسی، معادلات دیفرانسیل پیچیده و غیرخطی هستند که تحلیل آن‌ها با روش‌های تحلیلی (analytical) و نیمه‌تحلیلی (semi-analytical) رایج بسیار سخت یا ناممکن است. بنابراین با استفاده از روش عددی اجزاء محدود یا المان محدود (FEM) می‌توان طیف وسیعی از مسائل پیچیده مهندسی را تجزیه و تحلیل کرد.

The finite element method (FEM) is one of the numerical methods for solving differential equations that describe many engineering problems.

اساس کار روش المان محدود (FEM) در مسائل دینامیک، گسسته‌سازی مکان و زمان و تبدیل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) به معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) از نوع مسئله شرایط اولیه (Inital Value Problem=IVP) است و در مسائل استاتیک معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) را به دستگاه معادلات جبری تبدیل می‌کند.

از این رو برخی منابع، روش المان محدود (FEM) را تبدیل (transfer) فضا پیوسته که معادلات PDE بر آن حاکم است به فضای گسسته (نود و المان) که معادلات دیفرانسیل معمولی از نوع مسئله شرایط اولیه (IVP) حاکم است می‌داند.

روش المان محدود (FEM) از منظر ریاضیات (Mathematical Perspective)

FEM has been recognized as a powerful tool for solving partial differential equations and integrodifferential equations.

مراحل تحلیل المان محدود (FEA) خطی و غیرخطی به شرح زیر است:

گسسته‌سازی هندسه (Discretization)
در نظر گرفتن تابعی برای فرم کلی پاسخ در هر المان بر حسب مقادیر گره‌ای (Interpolation Function or Shape Function)
محاسبه ماتریس‌های مشخصه (ماتریس اینرسی خطی (جرم)، ماتریس اینرسی دورانی، ماتریس دمپینگ (میرائی) و ماتریس سفتی) برای هر المان (Element Characteristics Matrix)
مونتاژ المان‌ها برای ساخت ماتریس‌های مشخصه کل سازه (Assemblage)
اعمال شرایط مرزی به دستگاه معادلات ماتریسی (Apply Boundary Conditions)
اعمال شرایط اولیه در مسائل دینامیک (Apply Initial Conditions)
حل دستگاه معادلات جبری (در مسائل استاتیک) یا حل دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی (در مسائل دینامیک)

اگر معادلات دیفرانسیل حاکم بر مسئله غیرخطی باشند (اغلب مسائل مهندسی و واقعی بدون ساده سازی)، باید از روش اجزای محدود غیرخطی یا روش المان محدود غیرخطی (Non-linear FEM=NLFEM) استفاده شود. روش اجزای محدود غیرخطی در مسائل دینامیک معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) غیرخطی را به دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) غیرخطی و در مسائل استاتیک معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) غیرخطی یا معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) غیرخطی را به دستگاه معادلات جبری غیرخطی (Nonlinear Algebraic Equation) تبدیل می‌کند.

Nonlinear Finite Element Analysis (FEA) is a sophisticated computational technique used to simulate and predict the behavior of structures and systems under various conditions where linear assumptions do not hold true.

مهم‌ترین عواملی که مسائل مکانیک جامدات (solid mechanics) را غیرخطی می‌کنند عبارتند از:

روابط هندسی غیرخطی (Geometric Nonlinearity)

در اصل روابط هندسی (مثل جابجایی – روابط کرنش جابجایی – دروان‌های بزرگ) حاکم بر اغلب مسائل غیرخطی است که در برخی مسائل می‌توان آنها را خطی‌سازی کرد. روابط هندسی حاکم بر مسائل در اثر جابجایی‌های بزرگ (large displacment)، دوران‌های بزرگ (finite rotation) یا تغییرشکل‌های بزرگ (large deflection / large strain) غیرخطی می‌شوند. برای مثال مسئله نوسان آونگ (pendulum swing) را در نظر بگیرید:

معادله دیفرانسیل حاکم بر مسئله غیرخطی است. در صورتی که مکان زاویه یعنی تتا کم (صفر تا 6 درجه) باشد، می‌توان سینوس زاویه را با خود زاویه تقریب زد و درگیر حل معادلات دیفرانسل غیرخطی نشد.

روابط کرنش-جابجایی نیز غیرخطی است و روابطی که در دروس مقاومت مصالح یا مکانیک جامدات ارائه شده بودند، روابط خطی‌سازی (linearized) شده بود. برای مثال روابط کرنش گرین (Green strain) با میدان جابجایی مطابق زیر است.

روابط کرنش گرین (Green strain) با میدان جابجایی

در صورتی که روابط بالا خطی‌سازی (linearized) شوند همان روابط ساده درس مقاومت مصالح یا مکانیک جامدات حاصل می‌شود.

روابط خطی‌سازی شده کرنش و دوران با میدان جابجایی

Geometric Nonlinearity: Due to Large displacements or large rotations

Geometric nonlinearities represent the cases when the relations among kinematic quantities (i.e., displacement, rotation, and strains) are nonlinear. Such nonlinearities often occur when deformation is large.

تفاوت large displacement با large deflection / large strain

رفتار غیرخطی ماده / معادلات ساختاری غیرخطی (Material Nonlinearity)

معادلات تنش-کرنش (stress-strain) حاکم بر بسیاری از مواد غیرخطی است. برای مثال اگر بارگذاری وارد بر مواد شکل‌پذیر (ductile material) از حد تناسب (proportinal limit) یا نقطه تسلیم (yield ponit) عبور کنند، رابطه تنش-کرنش دیگر خطی نخواهد بود.

منحنی تنش - کرنش مواد شکل‌پذیر (Ductile) — منحنی تنش – کرنش مواد شکل‌پذیر (Ductile)

رابطه تنش-کرنش مواد هایپرالاستیک (hyperelastic) از ابتدا غیرخطی است. به عبارت دیگر، چه در تغییرشکل کوچک (small deformation) و چه در تغییرشکل بزرگ (large deformation) رابطه ساختاری (constitutive law) یا همان رابطه تنش و کرنش غیرخطی است.

منحنی تنش-کرنش مواد هایپرالاستیک (Hyperelastic)

Material Nonlinearity: Due to non-linear constitutive law (e.g., plasticity, hyperelasticity, viscoelasticity and polymer materials)

Material nonlinearity represents the case when the relation between stress and strain is not linear. This relation is often referred to as the constitutive relation.

روابط مرزی غیرخطی (Boundary Nonlinearity) مثل تماس (Contact)

بر خلاف معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) که شرایط مرزی فقط بر ضرایب پاسخ تاثیرگذار بود، در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) شرایط مرزی فرم پاسخ را به کلی تغییر می‌دهد. اگر شرایط مرزی مسئله در طول تحلیل ثابت نباشد مثل وجود تماس (contact) یا برخورد (impact) با جسمی دیگر، معادلات حاکم بر مسئله غیرخطی خواهند شد و سختی‌های تحلیل مسئله چند برابر خواهد شد.

Boundary Nonlinearity: Due to the nonlinearity of boundary conditions (i.e., Contact or Diffusion)

روابط نیروی غیرخطی (Force Nonlinearity) مثل Follower Load

هنگامی که انداره (magnitude) یا جهت (direction) نیرو اعمالی بر جسم تابعی از تغییر شکل (deformation) یا دوران (rotation) المان‌ها باشد مثل فشار وارده بر سطوح، روابط نیرو غیرخطی (Force Nonlinearity) می‌شود. در صورتی که راستا نیرو تابعی از تغییر شکل یا دوران‌های المان باشد را آن نیرو را، Follower Load می‌گویند که رایج‌ترین مثال آن فشار وارد از طرف سیال است که همواره عمود بر سطح است.

Force nonlinearity occurs when the applied forces depend on deformation. Since force is a vector, its magnitude and/or direction can change according to the deformation of a structure.

مقایسه روابط Updated Lagrangian و Total Lagrangian

In the Total Lagrangian approach, all kinematic and equilibrium equations are formulated with respect to the initial undeformed configuration at time t=0. Integrals for internal virtual work, external forces, and mass matrices are evaluated over the original geometry, with deformations tracked via displacement fields relative to this fixed reference

روابط کارمجازی Total Lagrangian Formulation

The updated Lagrangian method adopts the current deformed configuration at time
t as the reference state for subsequent incremental steps. This dynamic updating requires frequent re-evaluation of spatial derivatives, Jacobians, and stress measures as the analysis progresses.

روابط کارمجازی Updated Lagrangian Formulation

فرم معادلات روش المان محدود غیرخطی (Nonlinear FEM)

پس از اعمال روش اجزاء محدود یا المان محدود (FEM) بر مسئله، دستگاه معادلات حاکم بدین شکل ساده می‌شود. برای مثال معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) غیرخطی به دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) غیرخطی تبدیل شده است. اگر در گام‌های اعمال روش اجزاء محدود یا المان محدود (FEM) ایراد دارید به مقاله زیر مراجعه کنید.

روش اجزاء (المان) محدود (FEM)

فرم دستگاه معادلات حاکم بر مسئله پس از اعمال روش المان محدود (FEM)

اگر مسئله استاتیک و خطی باشد، کار بسیار ساده است و صرفا باید دستگاه معادلات جبری خطی حل شود. اما زمانی مسائل غیرخطی باشد، دردسرها و پدیده‌های غیرخطی ظاهر می‌شود که کار را بسیار دشوار می‌کند. حال باید در مسائل دینامیک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) غیرخطی و در مسائل استاتیک دستگاه معادلات جبری غیرخطی (Nonlinear Algebraic Equation) حل شوند تا پاسخ تحلیل حاصل شود.

روش‌های حل دستگاه معادلات جبری غیرخطی در (NLFEM)

دستگاه معادلات جبری غیرخطی پس از گسسته‌سازی (discretization) هندسه مسئله مطابق تصویر زیر است.

Solution Procedures for Nonlinear Algebraic Equations

تمامی روش‌های حل دستگاه معادلات جبری غیرخطی به صورت تکراری (iterative) است یعنی فرایند حل با حدس اولیه‌ای شروع می‌شود و در هر تکرار (iteration) پاسخ دستگاه معادلات بهبود می‌یابد تا معیارهای همگرایی (convergence criterion) را برقرار کند. تفاوت روش‌های مختلف حل معادلات جبری غیرخطی (Nonlinear Algebraic Equations) در الگورتیم تصحیح و بهبود پاسخ در هر تکرار (iteration) است.