معادلات دیفرانسیل (Differential Equations)

معادلات دیفرانسیل (Differential Equations)

معادله دیفرانسیل (Differential Equation) رابطه‌ای میان تابع مجهول، مشتقات تابع مجهول و متغیرهای مستقل تابع است. با حل معادله دیفرانسیل، تابع مجهول حاصل می‌شود.

معادلات حاکم بر اغلب مسائل مهندسی، از نوع معادلات دیفرانسیل (Differential Equations) هستند. از این رو تسلط به معادلات دیفرانسیل (Differential Equations) و روش‌های حل آن بسیار ضروری است. اگر تابع دارای یک متغیر مستقل باشد ( مثل u(x) یا v(t) ) رابطه میان تابع، مشتقات تابع و متغیر مستقل مسئله (مثل t یا x) را معادلات دیفرانسیل معمولی (ordinary differential equation) می‌گویند.

اگر تابع دارای چند متغیر مستقل باشد ( مثل u(x,y) یا v(x,t) ) رابطه میان تابع، مشتقات تابع نسبت به متغیرهای مستقل و متغیر مستقل مسئله (مثل t یا x یا y) را معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (partial differential equation) می‌گویند.

دسته‌بندی‌های مختلفی برای معادلات دیفرانسیل وجود دارد. معمولا این دسته‌بندی‌ها بر اساس نوع یا فرم معادله دیفرانسیل یا شرایط حاکم بر آن است که اساس متداول‌ترین دسته‌بندی‌ها به شرح زیر است:

• تعداد متغیرهای مستقل مسئله و مشتقات تابع نسبت به این متغیرهای (ODE / PDE)
• خطی یا غیرخطی بودن معادلات دیفرانسیل (Linear / Nonlinear)
• ثابت یا متغیر بودن ضرایب معادله دیفرانسیل (Constant / Variable Coefficients)
• همگن یا ناهمگن بودن معادله دیفرانسیل (Homogeneous / Non-homogeneous)
• شرایط مرزی (Boundary Conditions) یا شرایط اولیه (Initial Conditions)

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول (first order)، مرتبه دوم (second order) و …

بالاترین مرتبه مشتق موجود در معادلات دیفرانسیل را مرتبه (order) معادلات دیفرانسیل می‌گویند.

معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی (Linear and Nonlinear Differential Equation)

اگر عملگر غیرخطی روی تابع مجهول اعمال شده باشد معادله دیفرانسیل را غیرخطی و در صورتی که هیچ عملگر غیرخطی روی تابع مجهول اعمال نشده باشد، معادله دیفرانسیل را خطی می‌گویند.

فرم کلی معادله دیفرانسیل خطی این چنین است.

معادلات دیفرانسیل معمولی (Ordinary Differential Equation = ODE)

اگر تابع دارای یک متغیر مستقل باشد ( مثل u(x) یا v(t) ) رابطه میان تابع، مشتقات تابع و متغیر مستقل مسئله (مثل t یا x) را معادلات دیفرانسیل معمولی (ordinary differential equation) می‌گویند.

معمولا معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) را بر اساس فرم معادله یا شرایط مرزی یا اولیه حاکم بر آن دسته‌بندی می‌کنند. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول دارای یک ثابت انتگرال‌گیری هستند و معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و بالاتر بیش از یک ثابت انتگرال‌گیری دارند. معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و بالاتر را می‌توان بر اساس شرایط حاکم بر مسئله (شرط مرزی یا شرط اولیه) نیز دسته‌بندی کرد.

معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) با شرایط مرزی (boundary conditions) یا مسئله مقدار مرزی (BVP)

مسئله مقدار مرزی (Boundary Value Problem = BVP) شامل معادله دیفرانسیل به همراه شرایط مرزی (boundary conditions) است. این شرایط در چند نقطه یا چند ناحیه بر پاسخ معادله دیفرانسیل اعمال می‌شوند تا ثابت‌های انتگرال‌گیری حاصل شوند. معمولا متغیر مستقل این نوع مسائل (BVP) مکان است برای همین شرایط حاکم بر مسئله در انتهای مرزهای ناحیه (domain) باید اعمال شوند.

معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) با شرایط اولیه (initial conditions) یا مسئله مقدار اولیه (IVP)

مسئله مقدار اولیه (Initial Value Problem = IVP) شامل معادله دیفرانسیل به همراه شرایط اولیه (initial conditions) است. برخلاف شرایط مرزی، تمامی شرایط اولیه در یک مقدار متغیر مستقل هستند. معمولا متغیر مستقل این نوع مسائل (IVP) زمان هست. برای مثال مکان و سرعت اولیه سیستم جرم و فنر، شرایط اولیه حاکم بر مسئله مقدار اولیه (IVP) است.

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (Partial Differential Equation = PDE)

اگر تابع دارای بیش از یک متغیر مستقل باشد ( مثل u(x,y) یا v(x,t) ) رابطه میان تابع، مشتقات تابع نسبت به هر یک از متغیر‌های مستقل و متغیرهای مسئله ( مثل (x, t) یا (x, y) ) را معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (partial differential equation) می‌گویند.

دسته‌بندی‌های مختلفی برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) وجود دارد، در اینجا یکی از این دسته‌بندی‌ها که بر اساس وابستگی یا استقلال از متغیر زمان است را بررسی می‌کنیم زیرا برای درک روش المان محدود (FEM) و انتگرال‌گیری‌های زمانی صریح (Explicit) و ضمنی (Implicit) بسیار مهم است.

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مستقل از زمان (Time-Independent PDE)

متغیرهای مستقل مسائل مهندسی معمولا مکان و زمان هستند. اگر مسئله تابعی از زمان نباشد، مسئله را استاتیک (static) یا پایا (steady state) یا مستقل از زمان (Time-Independent) می‌گویند. تعدادی از معروف‌ترین معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) مستقل از زمان (Time-Independent PDE) به شرح زیر است:

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی وابسته به زمان (Time-Dependent PDE)

متغیرهای مستقل مسائل مهندسی معمولا مکان و زمان هستند. اگر مسئله تابعی از زمان باشد، مسئله را دینامیک (dynamic) یا گذرا (transient) یا وابسته به زمان (Time-Dependent PDE) می‌گویند. تعدادی از معروف‌ترین معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی وابسته به زمان (Time-Dependent PDE) به شرح زیر است:

روش‌های انتگرال‌گیری مکانی و زمانی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی متفاوت هستند. روش انتگرال‌گیری گوسین (gaussian quadrature) از معروف‌ترین روش‌های انتگرال‌گیری عددی برای مکان است. روش‌های انتگرال‌گیری زمانی را به دو دسته انتگرال‌گیری صریح (explicit) و انتگرال‌گیری ضمنی (implicit) تقسیم می‌کنند.

معادلات دیفرانسیل با ضرایب ثابت (Constant Coefficient) و ضرایب متغیر (Variable Coefficient)

ضرایب جملات معادله دیفرانسیل می‌تواند ثابت باشند مانند اعداد یا تابعی از متغیر مستقل مسئله باشند. دقت کنید که خطی یا غیرخطی شدن معادلات دیفرانسل بر اساس خطی یا غیرخطی بودن تابع مجهول است. بنابراین اگر در معادله ضرایب درجه دوم و سوم از متغیر مستقل مسئله حاضر شود، دلیلی بر غیرخطی بودن معادله دیفرانسیل نیست.

معادلات دیفرانسیل همگن (Homogeneous) و ناهمگن (Nonhomogeneous)

اگر معادله دیفرانسیل فقط شامل تابع مجهول و مشتقات آن باشد یا به عبارتی دیگر فاقد ترمی از متغیر مستقل باشد؛ معادلات دیفرانسیل را همگن (Homogeneous) می‌گویند و در غیر این صورت معادلات دیفرانسیل را ناهمگن (Nonhomogeneous) می‌گویند.

انواع شرایط مرزی (Boundary Conditions) معادلات دیفرانسیل

شرایط مرزی (Boundary Conditions) در معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) ضرایت مجهول جواب عمومی (general solution) را مشخص می‌کند اما شرایط مرزی در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، می‌تواند فرم پاسخ را به کلی تغییر دهد.

شرایط مرزی دیریکله (Dirichlet)

شرایط مرزی نئومن (Neumann)

شرایط مرزی رابین (Robin)

انواع شرایط اولیه (Initial Conditions) معادلات دیفرانسیل

مکان اولیه (initial position)

سرعت اولیه (initial velocity)

شتاب اولیه (initial acceleration)

روش‌های حل معادلات دیفرانسیل (Differential Equation)

روش‌های تحلیلی (analytical methods)

روش‌های نیمه‌تحلیلی (semi-analytical methods)

روش‌های عددی (numerical methods)

نویسنده:
مهندس میلاد وحیدیان 
دانشجوی دکترای مهندسی مکانیک دانشگاه تهران

(برای مطالعه بیشتر روی نام یا تصویر ایشان کلیک کنید)